SISTEMAS NUMERICOS

SISTEMA BINARIO
El sistema binario, de este modo, emplea sólo dos dígitos o cifras: el cero (0) y el uno (1).

El método más común consiste en dividir la cantidad del sistema decimal por 2: el número entero que da como resultado se divide nuevamente por 2, de forma sucesiva hasta que el dividendo resulta inferior al divisor. Hecho esto, los restos de cada división se ordenan desde el último resto hasta el primero.
De este modo, si queremos expresar el número 34 en el sistema binario, haremos lo siguiente:
34 / 2 = 17 (resto = 0) 17 / 2 = 8 (resto = 1) 8 / 2 = 4 (resto = 0) 4 / 2 = 2 (resto = 0) 2 / 2 = 1 (resto = 0) 1 / 2 = 0 (resto = 1)
De este modo, podemos determinar que el número decimal 34 es equivalente al número binario 100010.

Si, en cambio, deseamos convertir un número del sistema binario al decimal, los posibles procedimientos son un tanto diferentes. El más usado de los métodos consiste en tomar cada uno de los dígitos del número binario, comenzando desde la derecha, y multiplicarlo por 2 elevado a la potencia correspondiente, siendo 0 el primer exponente. Una vez hecho esto, se deben sumar todos los resultados, para obtener el número decimal equivalente. Veamos la conversión de 100010 en 34:
0 x 2⁰ + 1 x 2¹ + 0 x 2² + 0 x 2³ + 0 x 2⁴ + 1 x 2⁵ = 34

SISTEMA OCTAL
El octal es un sistema numérico de base ocho. Proporciona representaciones convenientes abreviadas para números de múltiples bits en un sistema digital. En él existen ocho digitos diferentes, desde el cero hasta el siete.

Conversión del sistema octal al decimal

Para convertir un número del sistema octal a su equivalente en el sistema decimal solo se tiene que multiplicar cada dígito octal por su valor posicional, comenzando desde la derecha.

732₈ = (7_* 8²) + (3_* 8¹) + (2_* 8⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

Conversión del sistema decimal al octal

Un número entero decimal puede ser convertido en un número octal utilizando el método de la división repetida, donde el entero decimal se divide entre 8 hasta que el cociente sea igual a 0, y los residuos de cada división van a representar al número octal.

Los residuos son ordenados del último al primero; es decir, que el primer residuo será el dígito menos significativo del número octal. De esa forma, el dígito más significativo será el último residuo.

Octal del número decimal 266₁₀

– Se divide el numero decimal 266 entre 8 = 266/8 = 33 + residuo de  2.

– Luego se divide el 33 entre 8 = 33/8 = 4 + residuo de 1.

– Se divide 4 entre 8 = 4/8 = 0 + residuo de 4.

Como con la última división se obtiene un cociente menor a 1, quiere decir que el resultado ha sido encontrado; solo se tienen que ordenar los restos de forma inversa, de tal forma que el número octal del decimal 266 es 412.

Conversión del sistema octal al binario

La conversión del sistema octal al binario se lleva a cabo al convertir el dígito octal a su dígito binario equivalente, formado por tres dígitos. Existe una tabla que muestra cómo se convierten los ocho posibles dígitos:

A partir de esas conversiones se puede cambiar cualquier número del sistema octal al binario, como por ejemplo, para convertir el número 572₈ se buscan sus equivalentes en la tabla. Así, se tiene que:

5₈ = 101

7₈=111

2₈ = 10

Por lo tanto, 572₈ equivale en el sistema binario a 10111110.

Conversión del sistema binario al octal

El proceso de conversión de números enteros binarios a números enteros octales es la operación inversa al proceso anterior.

Es decir, se agrupan los bits del número binario en dos grupos de tres bits, comenzando de derecha a izquierda. Luego, se hace la conversión de binario a octal con la tabla anterior.

En algunos casos el número binario no tendrá grupos de 3 bits; para completarlo, se agregan uno o dos ceros a la izquierda del primer grupo.

Por ejemplo, para cambiar el número binario 11010110 a octal se realiza lo siguiente:

– Se forman grupos de 3 bits comenzando por la derecha (ultimo bit):

11010110

– Como el primer grupo está incompleto, se agrega un cero a la izquierda:

011010110

– Se hace la conversión a partir de la tabla:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

De esa forma, el número binario 011010110 equivale a 326₈.

Conversión del sistema octal al hexadecimal y viceversa

Para hacer el cambio de un número octal al sistema hexadecimal o de hexadecimal a octal, es necesario que primero se convierta el número en binario, y luego al sistema que se desee.

Para ello existe una tabla donde se representa cada dígito hexadecimal con su equivalencia en el sistema binario, compuesto por cuatro dígitos.

En algunos casos, el número binario no tendrá grupos de 4 bits; para completarlo, se agregan uno o dos ceros a la izquierda del primer grupo.

Convertir el número octal 1646 en un número hexadecimal:

– Se convierte el número de octal a binario

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

– Así, 1646₈ = 1110100110.

– Para convertir de binario a hexadecimal primero se ordenan en grupo de 4 bits, empezando de derecha hacia izquierda:

11 1010 0110

– Se completa con ceros el primer grupo, para que este pueda tener 4 bits:

0011 1010 0110

– Se hace la conversión del sistema binario al hexadecimal. Se sustituyen las equivalencias por medio de la tabla:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

De esa forma, el número octal 1646 equivale a 3A6 en el sistema hexadecimal.

SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal se encarga de la representación de las cantidades empleando diez cifras o dígitos diferentes: 0 (cero), 1 (uno), 2 (dos), 3 (tres), 4 (cuatro), 5 (cinco), 6 (seis), 7 (siete), 8 (ocho) y 9 (nueve).
Es importante destacar que el sistema decimal es un sistema posiciona. Los dígitos adquieren su valor de acuerdo a la posición relativa que ocupan. Esta posición, a su vez, depende de la base en cuestión.

SISTEMA HEXADECIMAL 
la base del sistema hexadecimal es dieciséis, se requieren dieciséis dígitos diferentes para la escritura. Por eso, además de los diez dígitos del sistema decimal (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 y 0), se usan las primeras seis letras del alfabeto latino: A, B, C, D, E y F.
De este modo, podemos afirmar que el conjunto de símbolos que utiliza el sistema hexadecimal está formado por los números que van del 0 al 9 y las letras de la A a la F. En este caso, A equivale 10; B, a 11; C, a 12; D, a 13; E, a 14; y F a 15.

Queremos convertir el número hexadecimal A6D₁₆ a binario. Cómo vimos en la tabla de arriba podemos sacar los datos necesarios:

• A = 1010
• 6 = 0110
• D = 1101

Por lo tanto A6D₁₆ = 1010 0110 1101

Para pasar un número hexadecimal a un número decimal, debemos de multiplicar los números hexadecimales por las distintas potencias de la base 16 que representa cada dígito del sistema hexadecimal.

Queremos convertir el número hexadecimal A6D₁₆ a decimal:

A6D = 10×16² + 6×16¹ + 13×16⁰ = 2560 + 96 + 13 = 2669

Por lo tanto A6D₁₆ = 2669

De forma contraria se obtendrán la conversión de número decimal a hexadecimal. Debemos de dividir por 16 sucesivamente hasta no poder realizarlo más. El número resultante estará constituido por el último cociente seguido de todos los restos.

Queremos convertir el número decimal 350 a hexadecimal:

Cómo vemos en la imagen:

• 350 dividido entre 16 da como cociente 21 y resto 14
• 21 dividido entre 16 da como cociente 1 y resto 5

Cómo dijimos antes, primero se toma el cociente final (1) y luego los restos de forma sucesiva de atrás para adelante (5 y 14). Recordando que 14 = E.

Por lo tanto 350 decimal = 15E hexadecimal.